(a) 滑（なめ）らかな共役（きょうやく）の正規形（せいきけい）

問題の定式
双曲的（そうきょくてき）あるいは部分双曲的（ぶぶんそうきょくてき）力学系（りきがくけい）に対（たい）して、

  • 位相的共役（いそうてききょうやく）
  • Hölder 共役
  • CrC^rCr 共役

が成立（せいりつ）する条件（じょうけん）を、**線形化（せんけいか）や正規形（normal form）**を用（もち）いて分類（ぶんるい）せよ。

特（とく）に：

Lyapunov 指数（しすう）や共鳴条件（きょうめいじょうけん）が、滑らかさ（なめらかさ）をどこまで保証（ほしょう）するか？

現在の主な手法

  • 非定常（ひていじょう）正規形理論（Pesin–Katok–Guysinsky）
  • ファイバー束（そく）上の正規形
  • 強安定／不安定葉（よう）に沿（そ）った正則性（せいそくせい）
  • ジェット決定性（jet determinacy）と共鳴消去
  • cocycle rigidity との結合

未解決の核心

  • 非一様双曲（ひいちようそうきょく）での完全な C∞C^\inftyC∞ 分類
  • 中心方向（ちゅうしんほうこう）を含む場合の正規形

(b) エントロピー剛性（ごうせい）予想（よそう）

問題の定式
力学系（りきがくけい）が

「最大エントロピーを持（も）つ ⇒ 幾何学的（きかがくてき）・代数的（だいすうてき）に標準形（ひょうじゅんけい）である」

という逆方向（ぎゃくほうこう）の主張（しゅちょう）が成立するか？

例（れい）：

  • 測地流（そくちりゅう）の最大エントロピー ⇒ 局所対称（きょくしょたいしょう）
  • 高階数（こうかいすう）アクションでの代数性（だいすうせい）

現在の主な手法

  • 不変測度（ふへんそくど）の一意性（いちいせい）
  • Margulis–Ruelle 不等式
  • Measure classification（Einsiedler–Katok）
  • Ratner 型剛性（ごうせい）
  • entropy splitting 技法

未解決の核心

  • 部分双曲系での完全剛性
  • 非可逆系（ひかぎゃくけい）での対応理論

(c) マーク付き長さスペクトル剛性（ごうせい）予想

問題の定式
負曲率多様体（ふきょくりつたようたい）において、

すべての閉測地線（へいそくちせん）の自由ホモトピー類（るい）ごとの長さ
が一致（いっち） ⇒ 計量（けいりょう）は等長（とうちょう）か？

現在の主な手法

  • Anosov 測地流
  • Livšic 定理（補助関数解消）
  • Boundary rigidity との接続
  • 微分幾何（びぶんきかがく）＋力学系の融合
  • 最近は microlocal / X-ray transform 技法

未解決の核心

  • 高次元での一般負曲率
  • 非滑らか計量

(d) Z2×Z3\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^3Z2×Z3 共役予想

問題の定式
可換群（かかんぐん）作用（さよう）

Zk↷M\mathbb{Z}^k \curvearrowright MZk↷M

において、
1つの要素（ようそ）が双曲的（Anosov）であれば、
全体（ぜんたい）の作用が代数的（だいすうてき）モデルに共役か？

現在の主な手法

  • Higher-rank rigidity
  • Weyl chamber flow
  • 共通不変分解（ぶんかい）
  • cocycle superrigidity
  • measure → smooth rigidity の昇格

未解決の核心

  • rank の非対称性（2×3 のような場合）
  • 中心成分を持つ作用

(e) Shub のエントロピー予想

問題の定式
C1C^1C1 微分同相（びぶんどうそう） fff に対して：

htop(f)≥log⁡ρ(f∗)h_{\text{top}}(f) \ge \log \rho(f_*)htop​(f)≥logρ(f∗​)

（ρ\rhoρ：ホモロジー作用のスペクトル半径）

現在の主な手法

  • Yomdin 理論
  • Volume growth
  • 精密な近似理論
  • 特定クラス（Anosov, partially hyperbolic）では解決

未解決の核心

  • 一般 C1C^1C1 の完全証明
  • 等号成立条件の分類

(f) Hirsch–Pugh–Shub（HPS）実現問題

問題の定式
部分双曲構造（ぶぶんそうきょくこうぞう）や不変分解（ふへんぶんかい）が：

実際に幾何学的（きかがくてき）葉層（ようそう）として
積分可能（せきぶんかのう）か？

現在の主な手法

  • graph transform
  • 正規双曲不変多様体理論
  • バンチング条件
  • 反例構成（Burns–Wilkinson 系）

未解決の核心

  • 中心葉の一意積分性
  • 低正則性での挙動

(g) その他（etc.）として典型的に含まれる話題

  • Measure rigidity for random cocycles
  • Partially hyperbolic accessibility
  • Smooth classification of Anosov flows
  • Entropy vs Lyapunov spectrum rigidity
  • Dynamics on moduli spaces